реши уравнение √(2x-4)=1+√x
Давайте решим уравнение \( \sqrt{2x-4} = 1 + \sqrt{x} \).
- Сначала мы возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
\[ (\sqrt{2x-4})^2 = (1 + \sqrt{x})^2 \]
Это даст нам:
\[ 2x - 4 = 1 + 2\sqrt{x} + x \]
- Переносим все члены на одну сторону уравнения:
\[ 2x - x - 4 - 1 = 2\sqrt{x} \]
Упрощаем:
\[ x - 5 = 2\sqrt{x} \]
- Теперь снова возводим обе стороны в квадрат:
\[ (x - 5)^2 = (2\sqrt{x})^2 \]
Это приводится к:
\[ x^2 - 10x + 25 = 4x \]
- Переносим все члены на одну сторону:
\[ x^2 - 10x - 4x + 25 = 0 \]
Упрощаем:
\[ x^2 - 14x + 25 = 0 \]
- Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней:
\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 196 - 100 = 96 \]
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня.
- Находим корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{96}}{2} \]
Упрощаем:
\[ \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \]
Таким образом:
\[ x = \frac{14 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{6} \]
- У нас есть два возможных значения для \( x \):
\[ x_1 = 7 + 2\sqrt{6}, \quad x_2 = 7 - 2\sqrt{6} \]
- Теперь нужно проверить, не является ли какой-либо из корней extraneous (ложным).
Подставим значения в исходное уравнение \( \sqrt{2x-4} = 1 + \sqrt{x} \) для каждого корня и проверим, какие из них удовлетворяют уравнению.
Для \( x_1 = 7 + 2\sqrt{6} \):
- Подставляем в \( 2x - 4 \) и \( x \) и проверяем равенство.
Для \( x_2 = 7 - 2\sqrt{6} \):
- Выполним аналогичные проверки.
В результате у нас будут найденные значения \( x_1 \) и \( x_2 \) с проверкой на корректность.
Таким образом, решением уравнения являются корни \( x_1 = 7 + 2\sqrt{6} \) и \( x_2 = 7 - 2\sqrt{6} \), если они корректные в контексте данной задачи.
