реши уравнение √(2x-34) =1+√x
Для решения уравнения \( \sqrt{2x - 34} = 1 + \sqrt{x} \) начнем с того, что возведем обе стороны уравнения в квадрат. Это поможет избавиться от квадратного корня:
\[ (\sqrt{2x - 34})^2 = (1 + \sqrt{x})^2 \]
После возведения в квадрат получаем:
\[ 2x - 34 = 1 + 2\sqrt{x} + x \]
Теперь приведем все к одной стороне уравнения:
\[ 2x - x - 34 - 1 = 2\sqrt{x} \]
Это упрощает уравнение до:
\[ x - 35 = 2\sqrt{x} \]
Теперь снова возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от \(\sqrt{x}\):
\[ (x - 35)^2 = (2\sqrt{x})^2 \]
Это приводит к:
\[ x^2 - 70x + 1225 = 4x \]
Теперь соберем все с одной стороны:
\[ x^2 - 70x - 4x + 1225 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ x^2 - 74x + 1225 = 0 \]
Теперь можем использовать формулу для решения квадратных уравнений \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -74\), \(c = 1225\).
Сначала находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-74)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1225 \] \[ D = 5476 - 4900 = 576 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{74 \pm \sqrt{576}}{2} \] \[ \sqrt{576} = 24 \]
Теперь подставим значение корня:
\[ x = \frac{74 \pm 24}{2} \]
Это дает два решения:
- \(x_1 = \frac{74 + 24}{2} = \frac{98}{2} = 49\)
- \(x_2 = \frac{74 - 24}{2} = \frac{50}{2} = 25\)
Теперь нужно проверить оба решения, подставив их в исходное уравнение:
Для \(x = 49\): \[ \sqrt{2 \cdot 49 - 34} = \sqrt{98 - 34} = \sqrt{64} = 8 \] \[ 1 + \sqrt{49} = 1 + 7 = 8 \] Оба значения равны, значит \(x = 49\) является решением.
Для \(x = 25\): \[ \sqrt{2 \cdot 25 - 34} = \sqrt{50 - 34} = \sqrt{16} = 4 \] \[ 1 + \sqrt{25} = 1 + 5 = 6 \] Значения не равны, значит \(x = 25\) не является решением.
Таким образом, единственное решение уравнения:
\[ \boxed{49} \]
