В треугольнике ABC угол C равен 90°, M- середина стороны AB, AB=36, BC = 20. Найдите CM

В треугольнике ABC угол C равен 90°, так что мы имеем прямоугольный треугольник. Давайте обозначим стороны:

• \( AB = c = 36 \) (гипотенуза)
• \( BC = a = 20 \) (одна из катетов)
• \( AC = b \) (вторая катета, которую мы можем найти с помощью теоремы Пифагора).

Сначала найдем длину стороны \( AC \) с использованием теоремы Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 36^2 = 20^2 + b^2 \]

Вычисляем:

\[ 1296 = 400 + b^2 \]

Теперь найдем \( b^2 \):

\[ b^2 = 1296 - 400 \] \[ b^2 = 896 \]

Теперь найдем \( b \):

\[ b = \sqrt{896} = 4\sqrt{56} = 4 \cdot 2\sqrt{14} = 8\sqrt{14} \]

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника: \( AB = 36 \), \( BC = 20 \), \( AC = 8\sqrt{14} \).

Теперь найдем координаты точки \( C \). Поскольку угол \( C \) прямой, можно расположить треугольник в координатной плоскости:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(36, 0) \)
• \( C(36, 20) \)

Сначала найдем координаты точки \( M \) — середины стороны \( AB \):

Координаты точки \( M \):

\[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{0 + 36}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M(18, 0) \]

Теперь найдем длину отрезка \( CM \):

\[ CM = \sqrt{(x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2} \]

Подставим значения:

\[ CM = \sqrt{(36 - 18)^2 + (20 - 0)^2} = \sqrt{18^2 + 20^2} \]

Вычисляем:

\[ CM = \sqrt{324 + 400} = \sqrt{724} = 2\sqrt{181} \]

Таким образом, длина отрезка \( CM \) равна \( 2\sqrt{181} \).