Найдите площадь правиль-ного треугольника, если радиус вписанной в него ок-ружности равен 4 см.

Площадь правильного треугольника можно найти, используя радиус вписанной окружности. Формула для площади \( S \) правильного треугольника через радиус вписанной окружности \( r \) выглядит так:

\[ S = \frac{r \cdot P}{2} \]

где \( P \) — периметр треугольника.

Для правильного треугольника с длиной стороны \( a \):

• Периметр \( P = 3a \).
• Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \).

Поскольку нам дан \( r = 4 \) см, мы можем выразить длину стороны \( a \):

\[ 4 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \implies a = \frac{4 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \text{ см}. \]

Теперь можем найти периметр:

\[ P = 3a = 3 \cdot 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ см}. \]

Теперь подставим периметр в формулу для площади:

\[ S = \frac{r \cdot P}{2} = \frac{4 \cdot 24\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь правильного треугольника равна \( 48\sqrt{3} \) см².