найти область определения и множество значений√-4x²+8x+10
Давайте разберемся с вашей задачей по нахождению области определения и множества значений функции \( y = \sqrt{-4x^2 + 8x + 10} \).
Область определения: Чтобы определить область определения функции с квадратным корнем, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это значит, что нам нужно решить неравенство:
\[ -4x^2 + 8x + 10 \geq 0 \]
Для решения этого неравенства сначала найдем корни квадратного уравнения:
\[ -4x^2 + 8x + 10 = 0 \]
Используем формулу для нахождения корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = -4 \), \( b = 8 \), \( c = 10 \). Подставим эти значения:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 10 = 64 + 160 = 224 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{224}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{14}}{-8} = 1 \mp \frac{\sqrt{14}}{2} \]
Обозначим корни как:
\[ x_1 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}, \quad x_2 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2} \]
Теперь мы можем построить таблицу знаков для неравенства. Нужно определить промежутки, где квадратичная функция \( -4x^2 + 8x + 10 \) находится выше оси \( x \).
Подставляя значения на промежутках между \( x_1 \) и \( x_2 \), мы находим, что функция принимает неотрицательные значения в интервале:
\[ [1 - \frac{\sqrt{14}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}] \]
Множество значений: Далее найдем множество значений функции \( y = \sqrt{-4x^2 + 8x + 10} \). Поскольку \( y \) принимает неотрицательные значения, нужно найти максимум подкоренного выражения.
Чтобы найти максимальное значение \( -4x^2 + 8x + 10 \), найдем его вершину, используя координаты вершины параболы:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-4)} = 1 \]
Подставим \( x = 1 \) в выражение:
\[ -4(1)^2 + 8(1) + 10 = -4 + 8 + 10 = 14 \]
Таким образом, максимальное значение подкоренного выражения равно 14. Значит, минимальное значение функции будет 0 (когда подкоренное выражение равно 0), а максимальное будет \( \sqrt{14} \).
Итак, множество значений:
\[ [0, \sqrt{14}] \]
В итоге, чтобы ответить на ваш вопрос:
- Область определения: \( [1 - \frac{\sqrt{14}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}] \)
- Множество значений: \( [0, \sqrt{14}] \)
Если у вас есть еще вопросы по этой теме или другим разделам математики, не стесняйтесь задавать!
