исследовать на ограниченность y= -x² +3x+ 1
Чтобы исследовать функцию \( y = -x^2 + 3x + 1 \) на ограниченность, нам нужно сначала определить, какие значения может принимать \( y \). Эта функция представляет собой параболу, которая открыта вниз (так как коэффициент перед \( x^2 \) негативный).
Нахождение вершины параболы: Вершина параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) — коэффициенты перед \( x^2 \) и \( x \) соответственно.
В нашем случае: \[ a = -1, \quad b = 3 \] Подставим значения: \[ x = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} \]
Подставляем \( x = \frac{3}{2} \) в уравнение, чтобы найти значение \( y \): \[ y = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) + 1 \] \[ y = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1 \] Приведем все к общему знаменателю: \[ y = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} + \frac{4}{4} = -\frac{9}{4} + \frac{22}{4} = \frac{13}{4} \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left( \frac{3}{2}, \frac{13}{4} \right) \). Это значение \( \frac{13}{4} \) — максимальное значение функции, так как парабола открыта вниз.
- Ограниченность: Поскольку парабола открыта вниз и имеет максимальное значение, функция \( y \) ограничена сверху значением \( \frac{13}{4} \), а снизу \( y \) может принимать любые значения от \( -\infty \) до \( \frac{13}{4} \).
Таким образом, мы можем сделать вывод, что функция \( y \) ограничена сверху, и её максимальное значение равно \( \frac{13}{4} \), а минимальное значение стремится к \( -\infty \).
