Грамматическая основа предложения состоит из подлежащего и сказуемого. Рассмотрим каждое из предложений:
Русская берёза! - Подлежащее: "берёза"; сказуемое отсутствует, так как предложение восклицательное.
Ни одно из деревьев не вмещает столько национальных понятий, не рождает столько образов и сравнений. - Подлежащее: "Ни одно из деревьев"; сказуемое: "не вмещает", "не рождает" (два сказуемых, так как предложение сложносочинённое).
Наблюдая в лесу, я понял, что берёза — это воистину крестьянское дерево. - Подлежащее: "я"; сказуемое: "понял". Второе предложение (с придаточной частью): подлежащее: "берёза"; сказуемое: "это воистину крестьянское дерево".
Всматриваясь в берёзовый лес, в узловатые его стволы, вспоминаешь мозолистые, трудовые крестьянские руки, сноровисто делающие любую тяжелую работу. - Подлежащее: "ты" (пропущенное, подразумевается); сказуемое: "вспоминаешь".
Смотришь на берёзу, и проносятся в памяти переливчатые деревенские песни, звуки гармошки, юность, детство, а в душе любовно обнимаешь это дерево, такое близкое и дорогое. - Первое часть: подлежащее: "ты" (пропущенное); сказуемое: "смотришь". Второе предложение: подлежащее: "песни", "звуки", "юность", "детство" (все в одном числе); сказуемое: "проносятся". Третья часть: подлежащее: "ты" (пропущенное); сказуемое: "обнимаешь".
Таким образом, грамматическая основа каждого предложения состоит из подлежащего и сказуемого, где подлежащее может быть подразумеваемым в неформальных сообщениях.