решите методом интервалов неравенство: x/x-1=0
Для решения неравенства \( \frac{x}{x-1} = 0 \) методом интервалов, начнем с анализа выражения.
Определим, когда дробь равна нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — не равен нулю. Таким образом, нам нужно решить уравнение: \[ x = 0. \]
Теперь определим, при каких значениях \( x \) дробь неопределена. Знаменатель равен нулю, когда: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1. \]
На следующем шаге мы определим интервалы. У нас есть две критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, 0) \)
- \( (0, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и определить знак дроби на этих интервалах.
Для интервала \( (-\infty, 0) \), например, возьмем \( x = -1 \): \[ \frac{-1}{-1-1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0. \]
Для интервала \( (0, 1) \), например, возьмем \( x = 0.5 \): \[ \frac{0.5}{0.5-1} = \frac{0.5}{-0.5} = -1 < 0. \]
Для интервала \( (1, +\infty) \), например, возьмем \( x = 2 \): \[ \frac{2}{2-1} = \frac{2}{1} = 2 > 0. \]
После анализа мы получили:
- На интервале \( (-\infty, 0) \) дробь положительна.
- На интервале \( (0, 1) \) дробь отрицательна.
- На интервале \( (1, +\infty) \) дробь положительна.
Теперь мы можем записать ответ. Значение \( x = 0 \) делает дробь равной нулю, а значение \( x = 1 \) предполагает деление на ноль, что недопустимо. Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty). \]
Это означает, что дробь \( \frac{x}{x-1} \) будет больше нуля на указанных интервалах.
