Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна 24, а площадь полной поверхности 42. Вычислите объем призмы

Чтобы найти объем правильной четырехугольной призмы, нам нужно использовать известные параметры.

Обозначим основание призмы как квадрат со стороной \( a \) и высоту призмы как \( h \).

Данные:

• Площадь боковой поверхности \( S_b = 24 \)
• Площадь полной поверхности \( S_p = 42 \)

Формулы:

1. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы: \[ S_b = Perimeter \times h = 4a \times h \] Здесь \( P = 4a \) — периметр основания (квадрат).

2. Площадь полной поверхности: \[ S_p = S_b + 2S_{base} = S_b + 2a^2 \] Где \( S_{base} = a^2 \) — площадь основания (квадрат).

Подстановка данных:

Из первого уравнения: \[ 4a \times h = 24 \quad (1) \] Из второго: \[ 24 + 2a^2 = 42 \quad (2) \]

Решим уравнение (2): \[ 2a^2 = 42 - 24 \] \[ 2a^2 = 18 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \]

Теперь подставим \( a = 3 \) в уравнение (1): \[ 4 \times 3 \times h = 24 \] \[ 12h = 24 \quad \Rightarrow \quad h = 2 \]

Объем призмы:

Объем \( V \) правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле: \[ V = S_{base} \times h = a^2 \times h \] Подставим найденные значения \( a^2 = 9 \) и \( h = 2 \): \[ V = 9 \times 2 = 18 \]

Таким образом, объем призмы равен \( 18 \).