Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна 24, а площадь полной поверхности 42. Вычислите объем призмы

Для решения задачи обозначим:

• \( S_b \) — площадь боковой поверхности призмы,
• \( S_p \) — площадь полной поверхности призмы,
• \( V \) — объем призмы,
• \( P \) — основание призмы,
• \( h \) — высота призмы.

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле: \[ S_b = P \cdot h, \] где \( P \) — периметр основания.

Площадь полной поверхности составляется из площади боковой поверхности и двух площадей оснований: \[ S_p = S_b + 2S_{\text{осн}}, \] где \( S_{\text{осн}} \) — площадь одного основания.

У нас есть следующие данные:

• \( S_b = 24 \),
• \( S_p = 42 \).

Подставим известные значения в формулу для площади полной поверхности: \[ 42 = 24 + 2S_{\text{осн}}. \]

Вычислим \( S_{\text{осн}} \): \[ 2S_{\text{осн}} = 42 - 24 = 18 \implies S_{\text{осн}} = 9. \]

Теперь найдем периметр основания \( P \). Так как основание призмы правильное четырехугольное (квадрат), то можно выразить его через сторону квадрата \( a \): \[ S_{\text{осн}} = a^2 = 9 \implies a = 3. \]

Периметр основания будет равен: \[ P = 4a = 4 \cdot 3 = 12. \]

Теперь подставим \( P \) в формулу для площади боковой поверхности, чтобы найти высоту \( h \): \[ S_b = P \cdot h \implies 24 = 12 \cdot h \implies h = \frac{24}{12} = 2. \]

Теперь мы можем вычислить объем призмы: \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h = 9 \cdot 2 = 18. \]

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен \( 18 \).