4. Известно, что первый член арифметической прогресени - - 1. разность - 4 • Определить, сумма какого числа первых ченов равна 70.
Чтобы найти, сколько членов арифметической прогрессии нужно для получения суммы, равной 70, можно использовать формулу суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
где:
- \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( a_n \) — \( n \)-й член прогрессии.
Ваша прогрессия имеет:
- \( a_1 = -1 \) (первый член),
- разность \( d = 4 \).
\( n \)-й член можно найти так:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = -1 + (n - 1) \cdot 4 = -1 + 4n - 4 = 4n - 5 \]
Теперь подставим \( a_n \) в формулу суммы:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (-1 + (4n - 5)) = \frac{n}{2} \cdot (4n - 6) = \frac{n(4n - 6)}{2} = 2n^2 - 3n \]
Теперь приравняем сумму \( S_n \) к 70:
\[ 2n^2 - 3n = 70 \]
Переносим 70 в левую часть уравнения:
\[ 2n^2 - 3n - 70 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-70) = 9 + 560 = 569 \]
Теперь найдем корни:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{569}}{4} \]
Корень \( \sqrt{569} \) примерно равен \( 23.8 \). Подставим это значение:
\[ n_1 = \frac{3 + 23.8}{4} \approx 6.2 \] \[ n_2 = \frac{3 - 23.8}{4} \approx -5.2 \]
Поскольку \( n \) должно быть натуральным числом, рассматриваем только целочисленное значение. Округляем \( n_1 \) до \( 6 \), проверим, действительно ли сумма первых 6 членов равна 70.
Подсчитаем сумму для \( n = 6 \):
\[ S_6 = 2(6^2) - 3(6) = 2 \cdot 36 - 18 = 72 - 18 = 54 \quad (не подходит) \]
Теперь проверим \( n = 7 \):
\[ S_7 = 2(7^2) - 3(7) = 2 \cdot 49 - 21 = 98 - 21 = 77 \quad (чуть больше 70) \]
Проверим \( n = 5 \):
\[ S_5 = 2(5^2) - 3(5) = 2 \cdot 25 - 15 = 50 - 15 = 35 \quad (меньше 70) \]
Таким образом, правильного \( n \) в рамках целых чисел не найдено, однако можно уточнить \( n = 6 \) как ближайшее к 70.
Для целочисленного решения можно попробовать непосредственно искать сумму и проверять, но заметно, что между \( n = 6 \) и \( n = 7 \) решение лежит. Заключение: точное целочисленное решение не найдено.
