Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=-x²+2x-5 на промежутке 1) [-2;-1] 2) [0;2] 3) [2;4]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = -x^2 + 2x - 5 \) на заданных промежутках, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции и определите критические точки.
2. Оцените значения функции в крайних точках промежутка и в критических точках, если они находятся внутри промежутка.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Функция: \[ y = -x^2 + 2x - 5 \]

Найдем производную: \[ y' = -2x + 2 \]

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ -2x + 2 = 0 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \]

Шаг 2: Теперь проверим значения функции на заданных промежутках.

1. На промежутке \([-2; -1]\):

   • Посчитаем \( y \) в крайних точках:
     • \( y(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 5 = -4 - 4 - 5 = -13 \)
     • \( y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 5 = -1 - 2 - 5 = -8 \)

   Поэтому на промежутке \([-2; -1]\) наименьшее значение \( y = -13 \), а наибольшее значение \( y = -8 \).

2. На промежутке \([0; 2]\):

   • Посчитаем \( y \) в крайних точках и в критической точке \( x = 1 \):
     • \( y(0) = -0^2 + 2(0) - 5 = -5 \)
     • \( y(1) = -1^2 + 2(1) - 5 = -1 + 2 - 5 = -4 \)
     • \( y(2) = -2^2 + 2(2) - 5 = -4 + 4 - 5 = -5 \)

   На промежутке \([0; 2]\) наибольшее значение \( y = -4 \), а наименьшее значение \( y = -5 \).

3. На промежутке \([2; 4]\):

   • Проверим крайние точки:
     • \( y(2) = -5 \) (из предыдущего вычисления)
     • \( y(3) = -3^2 + 2(3) - 5 = -9 + 6 - 5 = -8 \)
     • \( y(4) = -4^2 + 2(4) - 5 = -16 + 8 - 5 = -13 \)

   На промежутке \([2; 4]\) наибольшее значение \( y = -5 \) (в точке \( x = 2 \)), а наименьшее значение \( y = -13 \) (в точке \( x = 4 \)).

Ответы:

1. Наименьшее значение: -13, наибольшее значение: -8 на промежутке \([-2; -1]\).
2. Наименьшее значение: -5, наибольшее значение: -4 на промежутке \([0; 2]\).
3. Наименьшее значение: -13, наибольшее значение: -5 на промежутке \([2; 4]\).