В прямоугольном треугольнике АВС углос С проведена высота СН причем СН=8см угол В=45.Найдите гипотенузу АВ

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C является прямым (90 градусов), угол B равен 45 градусам, а высота CH опущена из вершины C на гипотенузу AB. Высота CH равна 8 см.

Поскольку угол B равен 45 градусам, это означает, что угол A также равен 45 градусам (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам). Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником, где стороны AC и BC равны.

Обозначим длину катетов AC и BC как x. В равнобедренном прямоугольном треугольнике со сторонами x мы можем выразить гипотенузу AB через теорему Пифагора:

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}. \]

Теперь, воспользуемся свойством высоты в прямоугольном треугольнике: высота (CH) делит гипотенузу (AB) на два отрезка, которые равны. Также можно использовать отношения высоты к основанию и катету:

\[ CH^2 = AC \cdot BC, \] что в нашем случае будет:

\[ 8^2 = x \cdot x, \] \[ 64 = x^2, \] \[ x = 8. \]

Теперь мы можем найти длину гипотенузы AB:

\[ AB = x \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}. \]

Таким образом, длина гипотенузы AB составляет \( 8\sqrt{2} \) см.