Устраните разрыв функции y = x⁴-3x³+4x²/x²
Чтобы устранить разрыв функции \( y = \frac{x^4 - 3x^3 + 4x^2}{x^2} \), сначала нужно упростить выражение.
Преобразуем функцию: Мы можем разложить числитель на множители. Рассмотрим числитель \( x^4 - 3x^3 + 4x^2 \). Через вынесение \( x^2 \) мы получаем: \[ x^4 - 3x^3 + 4x^2 = x^2(x^2 - 3x + 4) \]
Подставим в дробь: Заменяем числитель в функции: \[ y = \frac{x^2(x^2 - 3x + 4)}{x^2} \] Здесь, если \( x \neq 0 \), мы можем сократить \( x^2 \) в числителе и знаменателе: \[ y = x^2 - 3x + 4 \quad \text{при } x \neq 0 \]
Анализируем разрыв: Функция \( y = \frac{x^4 - 3x^3 + 4x^2}{x^2} \) имеет разрыв в точке \( x = 0 \), где происходит деление на ноль. Для устранения разрыва можно определить значение функции в этой точке, используя предельный переход при \( x \to 0 \): \[ \lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 4) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 4 = 4 \]
Определим значение функции в точке разрыва: Чтобы устранить разрыв, мы можем определить \( y(0) = 4 \). Это позволяет функции быть непрерывной: \[ y = \begin{cases} x^2 - 3x + 4, & x \neq 0 \\ 4, & x = 0 \end{cases} \] Таким образом, мы получили непрерывную функцию, устранив разрыв.
