Устраните разрыв функции y = (x²+x-2) *(x+3) /x²+2x-3
Чтобы устранить разрыв функции \( y = \frac{(x^2 + x - 2)(x + 3)}{x^2 + 2x - 3} \), давайте сначала упростим данное выражение и определим место разрыва.
Найдем нули числителя:
Знаем, что \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \). Следовательно, числитель можно записать как:
\[ (x - 1)(x + 2)(x + 3) \]
Теперь найдем нули знаменателя:
\( x^2 + 2x - 3 \) можно разложить на множители:
\[ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) \]
Запишем функцию в разложенном виде:
Подставляя разложенные множители, получаем:
\[ y = \frac{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 3)} \]
Устранение разрыва:
Заметим, что мы можем сократить \((x - 1)\) и \((x + 3)\) в числителе и знаменателе, но только для \( x \neq 1 \) и \( x \neq -3 \), где функция изначально не определена. Получим:
\[ y = x + 2, \quad x \neq 1, x \neq -3 \]
Определение предела:
Чтобы устранить разрыв, можно определить функцию в точках \( x = 1 \) и \( x = -3 \). Например, подставив \( x=1 \) в упростившуюся функцию:
\[ y(1) = 1 + 2 = 3 \]
Таким образом, мы можем определить:
\[ y(1) = 3 \]
Аналогично, для точки \( x = -3 \):
\[ y(-3) = -3 + 2 = -1 \]
Таким образом, функция \( y = x + 2 \) имеет разрывы в точках \( x = 1 \) и \( x = -3 \), которые мы можем устранить, задав значения функции в этих точках как \( y(1) = 3 \) и \( y(-3) = -1 \).
