Большая диагональ основания пра- вильной шестиугольной призмы рав- на 8см, а высота призмы равна 2у3 сM. D Найдите площадь полной поверхности В, Е, этой призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, нужно учитывать площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.
Площадь основания: Правильная шестиугольная призма имеет основание в виде правильного шестигранника. Площадь \( S \) правильного шестигранника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] где \( a \) — длина стороны шестиугольника. Однако у нас есть диагональ, поэтому найдем сначала длину стороны \( a \).
Великая диагональ правильного шестигранника проходит через 3 его вершины и равна \( 2a \sqrt{3} \). Если большая диагональ равна 8 см, то: \[ 2a\sqrt{3} = 8 \] \[ a\sqrt{3} = 4 \] \[ a = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 \text{ см} \]
Теперь подставим значение \( a \) в формулу для площади основания: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле: \[ S_{б} = P \cdot h \] где \( P \) — периметр основания, \( h \) — высота призмы. Периметр правильного шестиугольника \( P = 6a \): \[ P = 6 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} \text{ см} \]
Высота \( h = 2\sqrt{3} \text{ см} \). Теперь подставим значения: \[ S_{б} = \frac{24}{\sqrt{3}} \cdot 2\sqrt{3} = 48 \text{ см}^2 \]
Полная площадь поверхности: Площадь полной поверхности \( S_{п} \) равна сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований: \[ S_{п} = S_{б} + 2S = 48 + 2 \cdot 8\sqrt{3} = 48 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Таким образом, полная площадь поверхности правильной шестиугольной призмы составляет: \[ S_{п} = 48 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
