17|Найдите площадь равнобедренной трапсции, ссли сё основания равны 12 и 26, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°
Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, необходимо использовать формулу площади трапеции:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где \( a \) и \( b \) - основания трапеции, а \( h \) - высота.
В вашем случае основания равны 12 и 26. Для начала найдем высоту \( h \).
Поскольку трапеция равнобедренная и один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°, можем рассмотреть один из боковых треугольников, образованных высотой и боковой стороной.
- Находим длину боковой стороны. Назовем длину боковой стороны \( c \).
- На основании \( 12 \) проведем высоту \( h \) вниз, которая будет равна \( h = c \cdot \sin(45^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).
- Расстояние от основания \( 12 \) до основания \( 26 \) будет равно \( 26 - 12 = 14 \). Поскольку трапеция равнобедренная, это расстояние делится пополам между двумя боковыми сторонами. Таким образом, от каждого основания будет отступлено по \( 7 \) единиц.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти боковую сторону \( c \):
\[ c^2 = h^2 + 7^2. \]
Подставим \( h \):
\[ c^2 = \left(c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 7^2. \]
Получим:
\[ c^2 = \frac{c^2 \cdot 2}{4} + 49, \]
или:
\[ c^2 = \frac{c^2}{2} + 49. \]
Переместим все слагаемые с \( c^2 \) в одну сторону:
\[ c^2 - \frac{c^2}{2} = 49, \]
\[ \frac{c^2}{2} = 49, \]
\[ c^2 = 98, \]
\[ c = 7\sqrt{2}. \]
Теперь подставим это значение обратно для нахождения высоты \( h \):
\[ h = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7. \]
Теперь, когда у нас есть высота, можем найти площадь трапеции:
\[ S = \frac{(12 + 26) \cdot 7}{2} = \frac{38 \cdot 7}{2} = \frac{266}{2} = 133. \]
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна \( 133 \) квадратных единиц.
