моторная лодка прошла 36км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5ч скорость течения 3км ч. скорость лодки найти
Давайте решим эту задачу поэтапно.
Обозначим скорость лодки относительно воды как \( V \), а скорость течения реки — как \( C = 3 \) км/ч. Когда лодка плывёт по течению, её скорость относительно берега складывается со скоростью течения, и получается \( V + C \). При движении против течения скорость лодки будет \( V - C \).
Лодка проходит 36 км по течению и 36 км обратно, всего она проходит 72 км. Время, затраченное на весь путь, равно 5 часам.
Теперь можем записать выражения для времени, затраченного на оба участка пути. Время — это расстояние, делённое на скорость.
Время, затраченное на движение по течению: \[ t_1 = \frac{36}{V + C} = \frac{36}{V + 3} \]
Время, затраченное на движение против течения: \[ t_2 = \frac{36}{V - C} = \frac{36}{V - 3} \]
Суммарное время: \[ t_1 + t_2 = 5 \]
Подставим выражения для времени: \[ \frac{36}{V + 3} + \frac{36}{V - 3} = 5 \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на \( (V + 3)(V - 3) \) для устранения дробей: \[ 36(V - 3) + 36(V + 3) = 5(V + 3)(V - 3) \]
Раскроем скобки: \[ 36V - 108 + 36V + 108 = 5(V^2 - 9) \] \[ 72V = 5V^2 - 45 \]
Переносим всё в одну сторону уравнения: \[ 5V^2 - 72V - 45 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение по формуле дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле: \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{10} \] \[ \sqrt{6084} = 78 \] \[ V = \frac{72 \pm 78}{10} \]
Это даёт два значения:
- \( V = \frac{150}{10} = 15 \) км/ч
- \( V = \frac{-6}{10} = -0.6 \) км/ч (это невозможно, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость лодки относительно воды составляет 15 км/ч.
