Коробка содержит более 100 шариков. Шарики можно разделить на равные доли между 6, 7 или 8 детьми с 1 лишним шариком каждый раз. Какое наименьшее количество шариков может…

Для решения этой задачи нам необходимо найти наименьшее число шариков \( N \), которое соответствует следующим условиям:

1. \( N > 100 \)
2. \( N \equiv 1 \,(\text{mod } 6) \) — при делении на 6 в остатке 1.
3. \( N \equiv 1 \,(\text{mod } 7) \) — при делении на 7 в остатке 1.
4. \( N \equiv 1 \,(\text{mod } 8) \) — при делении на 8 в остатке 1.

Эти условия можно объединить в одно: нам нужно найти такое \( N \), которое на 1 больше, чем кратно 6, 7 и 8. Таким образом, можно записать:

\[ N - 1 \equiv 0 \,(\text{mod } 6) \] \[ N - 1 \equiv 0 \,(\text{mod } 7) \] \[ N - 1 \equiv 0 \,(\text{mod } 8) \]

Это означает, что \( N - 1 \) является наименьшим общим кратным (НОК) чисел 6, 7 и 8.

Теперь найдем НОК:

• Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, ...
• Кратные числа 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126,...
• Кратные числа 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120,...

Теперь находим НОК(6, 7, 8):

• Разложим на простые множители:
  • 6 = \( 2 \times 3 \)
  • 7 = \( 7 \)
  • 8 = \( 2^3 \)

Возьмем максимальные степени:

• \( 2^3 \) (из 8),
• \( 3^1 \) (из 6),
• \( 7^1 \) (из 7).

Теперь считаем НОК:

\[ \text{НОК} = 2^3 \times 3^1 \times 7^1 = 8 \times 3 \times 7 = 168. \]

Следовательно, \( N - 1 = 168 \), значит:

\[ N = 168 + 1 = 169. \]

Проверяем, больше ли оно 100: да, больше.

Таким образом, наименьшее количество шариков, которое может содержать коробка, равно 169 шарикам.