Найдите наименьшее число,которое при деление на 7 дает в остатке 1,а при деление на 8 дает в остатке 2.

Давайте обозначим искомое число как \( x \). У нас есть два условия:

1. \( x \equiv 1 \mod{7} \) (то есть \( x \) при делении на 7 дает остаток 1),
2. \( x \equiv 2 \mod{8} \) (то есть \( x \) при делении на 8 дает остаток 2).

Решим эту систему уравнений.

Первое уравнение можно записать как:

\[ x = 7k + 1 \]

для некоторого целого числа \( k \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ 7k + 1 \equiv 2 \mod{8} \]

Упростим это уравнение:

\[ 7k \equiv 1 \mod{8} \]

Поскольку \( 7 \equiv -1 \mod{8} \), мы можем переписать уравнение:

\[ -k \equiv 1 \mod{8} \implies k \equiv -1 \mod{8} \implies k \equiv 7 \mod{8} \]

Таким образом, мы можем записать \( k \) как:

\[ k = 8m + 7 \]

где \( m \) — некоторый целый число. Подставим \( k \) обратно в выражение для \( x \):

\[ x = 7(8m + 7) + 1 = 56m + 49 + 1 = 56m + 50 \]

Теперь, чтобы найти наименьшее положительное значение \( x \), мы берем \( m = 0 \):

\[ x = 50 \]

Проверим это число на соответствие условиям:

1. \( 50 \mod{7} = 1 \) (остается 1 при делении на 7),
2. \( 50 \mod{8} = 2 \) (остается 2 при делении на 8).

Таким образом, наименьшее число, которое удовлетворяет условиям задачи, равно \( 50 \).