Найти скалярное произведение векторов n=3а-4b и m=a+b, если а и b единичные векторы и |а - b| =v3.

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( n \) и \( m \), начнем с их определения:

\( n = 3a - 4b \)
\( m = a + b \)

Скалярное произведение векторов \( n \) и \( m \) можно вычислить с помощью формулы:

\[ n \cdot m = (3a - 4b) \cdot (a + b) \]

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

\[ n \cdot m = 3a \cdot a + 3a \cdot b - 4b \cdot a - 4b \cdot b \]

Зная, что \( a \) и \( b \) — единичные векторы, мы имеем:

\[ a \cdot a = 1 \quad \text{и} \quad b \cdot b = 1 \]

Таким образом, у нас получится:

\[ n \cdot m = 3 \cdot 1 + 3(a \cdot b) - 4(a \cdot b) - 4 \cdot 1 \]

Упростим это выражение:

\[ n \cdot m = 3 + (3 - 4)(a \cdot b) - 4 \] \[ n \cdot m = -1 + (3 - 4)(a \cdot b) \] \[ n \cdot m = -1 - (a \cdot b) \]

Теперь, чтобы выразить \( a \cdot b \), используем условие \( |a - b| = \sqrt{3} \). Выразим это:

\[ |a - b|^2 = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a - 2(a \cdot b) + b \cdot b = 1 - 2(a \cdot b) + 1 = 2 - 2(a \cdot b) \]

Поскольку \( |a - b|^2 = 3 \), приравняем:

\[ 2 - 2(a \cdot b) = 3 \] \[ -2(a \cdot b) = 1 \] \[ a \cdot b = -\frac{1}{2} \]

Теперь подставим найденное значение \( a \cdot b \) обратно в выражение для скалярного произведения \( n \cdot m \):

\[ n \cdot m = -1 - \left( -\frac{1}{2} \right) \] \[ n \cdot m = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( n \) и \( m \) равно \( -\frac{1}{2} \).