вектор х, перпендикулярный к векторам а=(-1,0,2) и b=(2,2,-10), образует с осью ох острый угол. зная, что |x |=корень14, найти его координаты.
Чтобы найти вектор \( \mathbf{x} \), перпендикулярный к векторам \( \mathbf{a} = (-1, 0, 2) \) и \( \mathbf{b} = (2, 2, -10) \), мы можем воспользоваться методом векторного произведения. Напомним, что векторное произведение двух векторов дает вектор, перпендикулярный к обоим исходным векторам.
Сначала найдем векторное произведение \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \):
\[ \mathbf{x} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & -10 \end{vmatrix} \]
Вычислим определитель:
\[ \mathbf{x} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -10 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -10 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \]
Теперь посчитаем каждое из 2х2 определителей:
\(\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -10 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-10) - 2 \cdot 2 = -4\)
\(\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -10 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-10) - 2 \cdot 2 = 10 - 4 = 6\)
\(\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 2 - 0 \cdot 2 = -2\)
Теперь подставим результаты обратно в выражение для вектора \( \mathbf{x} \):
\[ \mathbf{x} = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(-2) = (-4, -6, -2) \]
Теперь у нас есть вектор, перпендикулярный к \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). Однако необходимо убедиться, что длина вектора \( \mathbf{x} \) равна \( \sqrt{14} \).
Сначала находим длину вектора \( \mathbf{x} \):
\[ |\mathbf{x}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} \]
Далее найдем единичный вектор \( \mathbf{u} = \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|} \):
\[ \mathbf{u} = \left(-\frac{4}{\sqrt{56}}, -\frac{6}{\sqrt{56}}, -\frac{2}{\sqrt{56}}\right) \]
Для получения нужной длины \( \sqrt{14} \), умножим единичный вектор на \( \sqrt{14} \):
\[ \mathbf{x} = \sqrt{14} \cdot \mathbf{u} = \sqrt{14} \left(-\frac{4}{\sqrt{56}}, -\frac{6}{\sqrt{56}}, -\frac{2}{\sqrt{56}}\right) \]
Упростим:
\[ \sqrt{14} \cdot \frac{1}{\sqrt{56}} = \frac{\sqrt{14}}{2\sqrt{14}} = \frac{1}{2} \]
Таким образом, координаты вектора \( \mathbf{x} \) будут:
\[ \mathbf{x} = \left(-\frac{4\sqrt{14}}{2\sqrt{14}}, -\frac{6\sqrt{14}}{2\sqrt{14}}, -\frac{2\sqrt{14}}{2\sqrt{14}}\right) = \left(-2\sqrt{14}/14, -3\sqrt{14}/14, -\sqrt{14}/7\right) \]
Принимаем во внимание, что по условию угол с осью \( OX \) должен быть острым, необходимо изменить знак.
Таким образом, искомые координаты вектора \( \mathbf{x} \):
\[ \mathbf{x} = \left(2, 3, 1\right) \]
