Сколько имеется 7 значных натуральных чисел ,в которых все цифры,стоящие на нечётных местах различны?

Чтобы определить, сколько существует 7-значных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны, начнем с анализа.

Структура 7-значного натурального числа выглядит так:

1. Позиции: 1-ая, 2-ая, 3-я, 4-ая, 5-я, 6-я, 7-я.

   • Нечётные позиции: 1-ая, 3-я, 5-я, 7-я (всего 4 позиции).
   • Чётные позиции: 2-ая, 4-ая, 6-я (всего 3 позиции).

2. Цифры: В 7-значном натуральном числе первая цифра не может быть равна нулю. Все цифры (от 0 до 9) будут использоваться для заполнения позиций. Узнаем, сколько цифр мы можем использовать.

Заполнение нечётных позиций

1. 1-ая позиция: Может принимать значения от 1 до 9 (9 вариантов).
2. 3-я позиция: Может принимать любые значения от 0 до 9, кроме уже использованной цифры, включая первую (но исключая её): 9 возможных вариантов.
3. 5-я позиция: Может принимать любые значения от 0 до 9, кроме двух уже использованных цифр: 8 возможных вариантов.
4. 7-я позиция: Может принимать любые значения от 0 до 9, исключая три уже использованные цифры: 7 возможных вариантов.

Заполнение чётных позиций

5. 2-ая позиция: Может принимать любые значения от 0 до 9, кроме всех цифр, использованных в нечётных позициях. У нас было 4 уникальные цифры, следовательно, остаётся 6 возможных вариантов.
6. 4-ая позиция: Может принимать любые значения от 0 до 9, кроме всех цифр, использованных в нечётных позициях и одной цифры из 2-ой позиции, всего 5 возможных вариантов.
7. 6-ая позиция: Может принимать любые значения от 0 до 9, кроме всех цифр, использованных в нечётных и двух цифр из 2-ой и 4-ой позиций: 4 возможных вариантов.

Общее количество вариантов

Теперь перемножим количество вариантов на каждой позиции:

• Нечётные позиции: \( 9 \times 9 \times 8 \times 7 \)
• Чётные позиции: \( 6 \times 5 \times 4 \)

Теперь вычислим общее количество 7-значных натуральных чисел:

\[ \text{Общее количество} = (9 \times 9 \times 8 \times 7) \times (6 \times 5 \times 4) \]

Давайте посчитаем это:

1. \( 9 \times 9 = 81 \)
2. \( 81 \times 8 = 648 \)
3. \( 648 \times 7 = 4536 \)

И для чётных позиций:

1. \( 6 \times 5 = 30 \)
2. \( 30 \times 4 = 120 \)

Теперь перемножим результаты:

\[ 4536 \times 120 = 544320 \]

Таким образом, количество 7-значных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны, составляет 544320.