На стороне CD и на продолжении стороны AD квадрата ABCD взяли точки K и E так, что CK=AE. Найдите угол BEK.
Для начала обозначим координаты вершин квадрата ABCD. Пусть:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)
Теперь нам нужно определить точки K и E.
Точка K на стороне CD: Пусть K будет на отрезке CD. Так как CD находится на линии x = 1, мы можем обозначить координаты K как K(1, y_K), где y_K варьируется от 0 до 1.
Точка E на продолжении стороны AD: Поскольку AD находится на линии y = 0, но для точки E, которая находится за пределами отрезка AD, мы можем обозначить координаты E как E(x_E, 0), где x_E < 0.
Из условия задачи известно, что CK = AE.
Длина отрезка CK: \[ CK = C(1, 1) - K(1, y_K) = 1 - y_K \]
Длина отрезка AE: \[ AE = A(0, 0) - E(x_E, 0) = -x_E \]
Итак, из условия CK = AE получаем: \[ 1 - y_K = -x_E \quad \text{или} \quad y_K = 1 + x_E \]
Теперь мы знаем координаты точек K и E:
- K(1, 1 + x_E)
- E(x_E, 0)
Теперь найдем угол BEK. Для этого нам понадобятся векторы BE и BK.
Вектор BE: \[ BE = E - B = (x_E - 1, 0 - 0) = (x_E - 1, 0) \]
Вектор BK: \[ BK = K - B = (1 - 1, (1 + x_E) - 0) = (0, 1 + x_E) \]
Теперь мы можем найти угол между векторами BE и BK, используя скалярное произведение:
\[ \cos(\theta) = \frac{BE \cdot BK}{|BE| \cdot |BK|} \]
Сначала находим длины векторов:
Длина BE: \[ |BE| = \sqrt{(x_E - 1)^2 + 0^2} = |x_E - 1| \]
Длина BK: \[ |BK| = \sqrt{0^2 + (1 + x_E)^2} = |1 + x_E| \]
Скалярное произведение BE и BK: \[ BE \cdot BK = (x_E - 1) \cdot 0 + 0 \cdot (1 + x_E) = 0 \]
Так как скалярное произведение равно нулю, это подразумевает, что векторы BE и BK перпендикулярны.
Таким образом, угол \( BEK = 90^\circ \).
