Расстояние от поселка до турбазы составляет 24 км по реке. В 10.00 моторная лодка вышла на турбазу и в 17.00 этого же дня вернулась обратно. Какова собственная скорость моторной…
Расстояние от поселка до турбазы составляет 24 км по реке. В 10.00 моторная лодка вышла на турбазу и в 17.00 этого же дня вернулась обратно. Какова собственная скорость моторной лодки, если скорость течения реки 3 км/ч и стоянка на турбазе длилась 1 час
Для решения этой задачи необходимо учесть скорость моторной лодки, скорость течения реки и время поездки.
Пусть собственная скорость лодки составляет \( V \) км/ч.
Скорость лодки относительно берега при движении вниз по реке будет равна \( V + 3 \) км/ч (прибавляем скорость течения реки), а при движении вверх по реке - \( V - 3 \) км/ч.
Дистанция от поселка до турбазы составляет 24 км, что означает, что расстояние в один конец - 24 км.
Лодка выехала в 10:00 и вернулась в 17:00, то есть общее время в пути составило 7 часов. Из этого времени 1 час лодка стояла на турбазе, следовательно, на сам путь уходит 6 часов.
Обозначим время на сплав по течению (вниз) как \( t_1 \), а время на подъем (вверх) как \( t_2 \).
Согласно условиям задачи, можно записать два уравнения для времени:
\[ t_1 + t_2 = 6 \quad (1) \]
Также можно выразить \( t_1 \) и \( t_2 \) через расстояние и скорость:
\[ t_1 = \frac{24}{V + 3} \quad (2) \] \[ t_2 = \frac{24}{V - 3} \quad (3) \]
Подставим (2) и (3) в (1):
\[ \frac{24}{V + 3} + \frac{24}{V - 3} = 6 \]
Умножим обе части уравнения на \( (V + 3)(V - 3) \):
\[ 24(V - 3) + 24(V + 3) = 6(V^2 - 9) \]
Преобразуем уравнение:
\[ 24V - 72 + 24V + 72 = 6V^2 - 54 \] \[ 48V = 6V^2 - 54 \] \[ 6V^2 - 48V - 54 = 0 \]
Теперь делим уравнение на 6:
\[ V^2 - 8V - 9 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение по формуле корней:
\[ V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = -9 \).
Подставим значения:
\[ V = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} \] \[ V = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} \] \[ V = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ V = \frac{8 \pm 10}{2} \]
Таким образом, у нас есть два возможных решения:
- \( V = \frac{18}{2} = 9 \) км/ч
- \( V = \frac{-2}{2} = -1 \) км/ч (недопустимо, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, собственная скорость моторной лодки составляет 9 км/ч.
