Реши систему уравнений методом Крамера: 2x+6y-4z=0 6x+6y+4z=-2 3x+2y-8z=-1

Чтобы решить систему уравнений методом Крамера, нужно следовать следующим шагам:

Дана система уравнений:

1. \( 2x + 6y - 4z = 0 \)
2. \( 6x + 6y + 4z = -2 \)
3. \( 3x + 2y - 8z = -1 \)

Сначала запишем коэффициенты в виде матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -4 \\ 6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & -8 \end{pmatrix} \]

Теперь найдём определитель матрицы \( A \):

\[ D = \begin{vmatrix} 2 & 6 & -4 \\ 6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & -8 \end{vmatrix} \]

Для вычисления определителя, используем метод Саррюса или разложение по строкам. Рассмотрим разложение по первой строке:

\[ D = 2 \begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 3 & -8 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 6 & 6 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \]

Теперь находим каждый из вторичных определителей:

1. \( \begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = (6 \cdot -8) - (4 \cdot 2) = -48 - 8 = -56 \)

2. \( \begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 3 & -8 \end{vmatrix} = (6 \cdot -8) - (4 \cdot 3) = -48 - 12 = -60 \)

3. \( \begin{vmatrix} 6 & 6 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (6 \cdot 2) - (6 \cdot 3) = 12 - 18 = -6 \)

Теперь подставим эти определители обратно в формулу:

\[ D = 2 \cdot (-56) - 6 \cdot (-60) - 4 \cdot (-6) = -112 + 360 + 24 = 272 \]

Теперь, когда у нас есть \( D \), мы можем найти \( D_x \), \( D_y \), и \( D_z \), заменяя соответствующие столбцы на вектор результатов (правую часть уравнений).

Для \( D_x \): \[ D_x = \begin{vmatrix} 0 & 6 & -4 \\ -2 & 6 & 4 \\ -1 & 2 & -8 \end{vmatrix} \]

Для вычисления \( D_x \): \[ D_x = 0 - 6 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & -8 \end{vmatrix} - (-4) \begin{vmatrix} -2 & 6 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \]

Теперь находим вторичные определители для \( D_x \):

1. \( \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & -8 \end{vmatrix} = (-2)(-8) - (4)(-1) = 16 + 4 = 20 \)

2. \( \begin{vmatrix} -2 & 6 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-2)(2) - (6)(-1) = -4 + 6 = 2 \)

Теперь подставляем в формулу для \( D_x \): \[ D_x = 0 - 6 \cdot 20 + 4 \cdot 2 = -120 + 8 = -112 \]

Для \( D_y \): \[ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -4 \\ 6 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & -8 \end{vmatrix} \]

Для вычисления \( D_y \): \[ D_y = 2 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & -8 \end{vmatrix} - 0 + 4 \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \] Находим нужные определители.

1. \( \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & -8 \end{vmatrix} = 20 \) (уже считали)
2. \( \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-6) - (-6) = -6 \)

Теперь подставляем в формулу \( D_y \): \[ D_y = 2 \cdot 20 + 4 \cdot (-6) = 40 - 24 = 16 \]

Для \( D_z \): \[ D_z = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 6 & 6 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} \]

Вычисляя определитель \( D_z \), получаем: \[ D_z = 2 \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + 0 \]

Определители:

1. \( \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -6 + 4 = -2 \)
2. \( \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -6 - 6 = -12 \)

Теперь подставляем: \[ D_z = 2 \cdot (-2) - 6 \cdot (-12) = -4 + 72 = 68 \]

Наконец, находим значение переменных: \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-112}{272} = -\frac{1}{2.43} \approx -0.412 \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{16}{272} = \frac{1}{17} \approx 0.059 \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{68}{272} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Таким образом, решение системы: \[ x \approx -0.412, \quad y \approx 0.059, \quad z = 0.25 \]