Площадь боковой поверхности конуса равна  624 𝜋 624π. Найди объём конуса, если диаметр основания равен  48 48. При вычислениях округли число  𝜋 π до сотых.

Чтобы найти объем конуса, необходимо сначала использовать данные о площади боковой поверхности и диаметре основания.

1. Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле: \[ S = \pi r l, \] где \( r \) — радиус основания конуса, а \( l \) — образующая (длинна наклонной стороны).

2. Из условия задачи знаем, что: \[ S = 624\pi. \] Также дан диаметр основания \( d = 48 \), следовательно, радиус будет равен: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{48}{2} = 24. \]

3. Подставим значение радиуса в уравнение площади боковой поверхности: \[ 624\pi = \pi \cdot 24 \cdot l. \]

4. Упрощаем уравнение, деля обе стороны на \( \pi \): \[ 624 = 24l. \]

5. Теперь найдём \( l \): \[ l = \frac{624}{24} = 26. \]

Теперь мы знаем радиус \( r = 24 \) и образующую \( l = 26 \). Чтобы найти высоту \( h \) конуса, воспользуемся теоремой Пифагора: \[ l^2 = r^2 + h^2. \]

6. Подставим известные значения: \[ 26^2 = 24^2 + h^2. \] Это даст нам: \[ 676 = 576 + h^2. \]

7. Найдём \( h^2 \): \[ h^2 = 676 - 576 = 100. \]

8. Отсюда получаем высоту \( h \): \[ h = \sqrt{100} = 10. \]

Теперь, когда мы знаем радиус и высоту, можем найти объем конуса по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. \]

9. Подставим известные значения: \[ V = \frac{1}{3} \pi (24^2) \cdot 10. \]

10. Вычислим \( 24^2 \): \[ 24^2 = 576. \]

11. Теперь найдем объем: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 576 \cdot 10 = \frac{5760}{3} \pi = 1920 \pi. \]

Теперь округлим \( \pi \) до сотых, где \( \pi \approx 3.14 \): \[ V \approx 1920 \cdot 3.14 = 6028.8. \]

Таким образом, объем конуса составляет приблизительно \( 6028.8 \) кубических единиц.