Треугольник ABC прямоугольный, угол A 90 Угол B 60 AD высота BD 3см Найти длину отрезка DC

Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с углом A равным 90° и углом B равным 60°. Следовательно, угол C составит 30° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°). В треугольнике ABC мы можем воспользоваться свойствами углов и высот.

1. Поскольку угол B равен 60°, то угол ADB также равен 60°, и угол ADB равен 90° (по определению высоты).
2. Поэтому треугольник ABD тоже прямоугольный и является 30-60-90 треугольником.

Согласно свойствам 30-60-90 треугольника, соотношения между сторонами следующие:

• сторона напротив 30° (в нашем случае, AD) составляет половину длины гипотенузы (AB),
• сторона напротив 60° (BD) равна \(\sqrt{3}/2\) от гипотенузы.

Мы знаем, что BD = 3 см. Это противоположная сторона угла 60°.

С учетом того, что BD = \(\sqrt{3}/2 \cdot AB\): \[ 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} AB. \] Решаем уравнение для AB: \[ AB = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \]

Теперь найдем длину AD. Это сторона напротив угла 30°, и она равна половине гипотенузы AB: \[ AD = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. \]

Теперь используем теорему Пифагора в треугольнике ACD, чтобы найти длину отрезка DC. Известно, что AC = AD + DC. Воспользуемся следующими значениями:

• AC = AD + DC,
• где AD = \(\sqrt{3}\) см.

По теореме Пифагора: \[ AC^2 + DC^2 = AB^2. \] Заменим известные значения: \[ (\sqrt{3} + DC)^2 + DC^2 = (2\sqrt{3})^2. \] Раскроем скобки и упростим: \[ (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot DC + DC^2 + DC^2 = 12, \] \[ 3 + 2\sqrt{3} \cdot DC + 2DC^2 = 12. \] Теперь приведем подобные: \[ 2DC^2 + 2\sqrt{3} \cdot DC - 9 = 0. \] Сделаем замену: \( x = DC \). Это квадратное уравнение: \[ 2x^2 + 2\sqrt{3}x - 9 = 0. \]

Решим его с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 12 + 72 = 84. \] Корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{84}}{4} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 2\sqrt{21}}{4} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{21}}{2}. \]

Поскольку длина DC должна быть положительной, выбираем: \[ DC = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{21}}{2}. \]

Таким образом, мы нашли длину отрезка DC.