Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2-72 км, при чём их скорость была одинаковой и выражалась целыми числами километра в час, и каждый день они были в пути целое число часов…

Чтобы найти скорость, с которой ехали туристы, давайте обозначим скорость как \( v \) (км/ч), а количество часов в пути в первый день - как \( t_1 \), а во второй день - \( t_2 \).

Из условия задачи у нас есть следующие равенства:

1. В первый день расстояние: \( 56 = v \cdot t_1 \)
2. Во второй день расстояние: \( 72 = v \cdot t_2 \)

Таким образом, мы можем выразить \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{56}{v} \] \[ t_2 = \frac{72}{v} \]

Заметим, что \( t_1 \) и \( t_2 \) должны быть целыми числами, что подразумевает, что \( v \) должен быть делителем как 56, так и 72.

Теперь найдем делители чисел 56 и 72.

Делители 56: \( 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 \)
Делители 72: \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 \)

Общие делители 56 и 72: \( 1, 2, 4, 8 \)

Теперь проверим скорость, начиная с наибольшего общего делителя:

1. Если \( v = 8 \):
   • \( t_1 = \frac{56}{8} = 7\)
   • \( t_2 = \frac{72}{8} = 9\)

Оба значения целые, и скорость 8 км/ч удовлетворяет условиям задачи.

2. Если \( v = 4 \):
   • \( t_1 = \frac{56}{4} = 14\)
   • \( t_2 = \frac{72}{4} = 18\)

Также подходит, но скорость меньше.

3. Если \( v = 2 \):
   • \( t_1 = \frac{56}{2} = 28\)
   • \( t_2 = \frac{72}{2} = 36\)

Снова подходит, но скорость еще меньше.

4. Если \( v = 1 \):
   • \( t_1 = \frac{56}{1} = 56\)
   • \( t_2 = \frac{72}{1} = 72\)

Подходит, но это минимальная скорость.

Таким образом, наибольшая скорость, с которой ехали туристы, равна 8 км/ч.