{x2-5x-6≥0x2-1≥0

Чтобы решить неравенства \(x^2 - 5x - 6 \geq 0\) и \(x^2 - 1 \geq 0\), мы рассмотрим каждое из них отдельно.

1. Решение первого неравенства: \(x^2 - 5x - 6 \geq 0\)

Сначала найдем корни соответствующего уравнения \(x^2 - 5x - 6 = 0\). Мы можем использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49. \] Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = 6. \]

На основании корней, мы можем разбить числовую ось на три интервала: \((- \infty, -1)\), \([-1, 6]\) и \((6, + \infty)\).

Теперь проверим знак функции \(f(x) = x^2 - 5x - 6\) на каждом из интервалов:

• Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \(f(-2) = 4 + 10 - 6 = 8 > 0\) (положительное).
• Для \(-1 < x < 6\) (например, \(x = 0\)): \(f(0) = 0 + 0 - 6 = -6 < 0\) (отрицательное).
• Для \(x > 6\) (например, \(x = 7\)): \(f(7) = 49 - 35 - 6 = 8 > 0\) (положительное).

Таким образом, \(x^2 - 5x - 6 \geq 0\) выполняется для интервалов \((- \infty, -1]\) и \([6, + \infty)\).

2. Решение второго неравенства: \(x^2 - 1 \geq 0\)

Сначала найдем корни уравнения \(x^2 - 1 = 0\): \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, \quad x_2 = 1. \]

На основании корней, разбиваем числовую ось на три интервала: \((- \infty, -1)\), \([-1, 1]\) и \((1, + \infty)\).

Теперь проверим знак функции \(g(x) = x^2 - 1\):

• Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \(g(-2) = 4 - 1 = 3 > 0\) (положительное).
• Для \(-1 < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(g(0) = 0 - 1 = -1 < 0\) (отрицательное).
• Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \(g(2) = 4 - 1 = 3 > 0\) (положительное).

Таким образом, \(x^2 - 1 \geq 0\) выполняется для интервалов \((- \infty, -1]\) и \([1, + \infty)\).

Теперь объединим решения обоих неравенств:

• Первое неравенство: \((- \infty, -1] \cup [6, + \infty)\).
• Второе неравенство: \((- \infty, -1] \cup [1, + \infty)\).

Объединение: \((- \infty, -1] \cup [6, + \infty)\), так как на интервале \((1, 6)\) ни одно из неравенств не выполняется.

Итак, окончательное решение: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [6, +\infty). \]