{x2-5x-6≥0{x2-1≤0
Чтобы решить систему неравенств \( x^2 - 5x - 6 \geq 0 \) и \( x^2 - 1 \leq 0 \), давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
Решение первого неравенства \( x^2 - 5x - 6 \geq 0 \). Начнем с нахождения корней квадратного уравнения \( x^2 - 5x - 6 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a=1, b=-5, c=-6 \). \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49. \]
Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = 6, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = -1. \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = -1 \). Поскольку это квадратное неравенство, оно принимает значение \( \geq 0 \) вне интервала между корнями: \[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 6. \]
Решение второго неравенства \( x^2 - 1 \leq 0 \). Начнем также с нахождения корней уравнения \( x^2 - 1 = 0 \): \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -1. \]
Для этого неравенства \( x^2 - 1 \leq 0 \) будет верно на интервале между корнями: \[ -1 \leq x \leq 1. \]
Объединение полученных интервалов: Нам нужно найти пересечение двух наборов решений:
- Для первого неравенства: \( (-\infty, -1] \cup [6, +\infty) \)
- Для второго неравенства: \( [-1, 1] \)
Пересечение этих множеств:
- В интервале \( (-\infty, -1] \) и \( [-1, 1] \) есть только одна общая точка: \( x = -1 \).
- Интервал \( [6, +\infty) \) не имеет пересечения с \( [-1, 1] \).
Таким образом, общее решение системы неравенств: \[ x = -1. \]
