вычислите значение каждой из тригонометрических функций, если cos a= -12/13 и п < а < 3п/2
Чтобы вычислить значения тригонометрических функций при заданном значении косинуса и диапазоне угла, начнем с того, что известно:
\[ \cos a = -\frac{12}{13} \]
Угол \( a \) находится в третьем квадранте (так как \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \)), где косинус отрицательный, а синус тоже отрицательный.
Для вычисления синуса можно использовать тригонометрическую идентичность:
\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
Подставим известное значение косинуса:
\[ \sin^2 a + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{144}{169} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{144}{169} \] \[ \sin^2 a = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \]
Теперь найдем значение синуса. Поскольку угол \( a \) находится в третьем квадранте, синус будет отрицательным:
\[ \sin a = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} \]
Теперь мы можем определить значение тангенса:
\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \]
Таким образом, у нас есть все значения тригонометрических функций:
- \(\cos a = -\frac{12}{13}\)
- \(\sin a = -\frac{5}{13}\)
- \(\tan a = \frac{5}{12}\)
Теперь можем вычислить обратные функции:
- \(\sec a = \frac{1}{\cos a} = -\frac{13}{12}\)
- \(\csc a = \frac{1}{\sin a} = -\frac{13}{5}\)
- \(\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{12}{5}\)
Записывая все вместе, получаем:
- \( \cos a = -\frac{12}{13} \)
- \( \sin a = -\frac{5}{13} \)
- \( \tan a = \frac{5}{12} \)
- \( \sec a = -\frac{13}{12} \)
- \( \csc a = -\frac{13}{5} \)
- \( \cot a = \frac{12}{5} \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется больше пояснений, не стесняйтесь обращаться!
