1.Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=27, MN=18. Площадь треугольника ABC равна 63. Найдите площадь треугольника MBN. 2.Основания трапеции равны 5 и 13, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции 3.Сторона квадрата равна 5√2. Найдите площадь этого квадрата 4.Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBЕ 5.Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.   6. Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

1. Чтобы найти площадь треугольника \(MBN\), воспользуемся свойством подобных треугольников. Прямая \(MN\), параллельная стороне \(AC\), делит треугольник \(ABC\) на два подобных треугольника: \(ABM\) и \(ACN\).

Сначала найдем отношение оснований: \[ \frac{MN}{AC} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}. \]

Площадь треугольника \(ABC\) равна 63, следовательно, площадь треугольника \(ABM\): \[ S_{ABM} = S_{ABC} \cdot \left( \frac{MN}{AC} \right)^2 = 63 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 = 63 \cdot \frac{4}{9} = 28. \]

Теперь, так как площадь треугольника \(ABC\) равна 63, площадь треугольника \(MBN\) будет: \[ S_{MBN} = S_{ABC} - S_{ABM} = 63 - 28 = 35. \]

Ответ: Площадь треугольника \(MBN\) равна 35.

2. Площадь трапеции можно найти по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \] где \(a\) и \(b\) – основания трапеции, а \(h\) – высота.

Подставим данные: \[ S = \frac{(5 + 13) \cdot 9}{2} = \frac{18 \cdot 9}{2} = \frac{162}{2} = 81. \]

Ответ: Площадь трапеции равна 81.

3. Площадь квадрата вычисляется по формуле: \[ S = a^2, \] где \(a\) – сторона квадрата.

Подставим данные: \[ S = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50. \]

Ответ: Площадь квадрата равна 50.

4. Площадь треугольника \(CBE\) можно найти следующим образом. Площадь всего параллелограмма равна 140, а точка \(E\) является серединой стороны \(AB\), следовательно, площадь треугольника \(ABE\) будет половиной площади параллелограмма: \[ S_{ABE} = \frac{140}{2} = 70. \]

Площадь треугольника \(CBE\) тоже будет равна 70, поскольку треугольник \(CBE\) и треугольник \(ABE\) являются равновеликими.

Ответ: Площадь треугольника \(CBE\) равна 70.

5. Чтобы найти тангенс угла \(AOB\), нужно знать длины сторон \(OA\) и \(OB\) (при условии, что они являются радиусами окружности). Если у вас есть конкретные значения или изображение, используйте: \[ \tan(AOB) = \frac{h}{b}, \] где \(h\) — высота, а \(b\) — основание. Напоминаю, что нужные данные нужно взять из рисунка.

6. Длина медианы равностороннего треугольника может быть найдена по формуле: \[ m = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \] где \(m\) - длина медианы, \(a\) - сторона треугольника.

Поскольку \(m = 13\sqrt{3}\), приравняем: \[ \frac{a\sqrt{3}}{2} = 13\sqrt{3}. \] Упростим: \[ a = 13 \cdot 2 = 26. \]

Ответ: Сторона равностороннего треугольника равна 26.