х+2 в корне больше х
Чтобы решить неравенство \( \sqrt{x + 2} > x \), начнем с того, что для корня под знаком корня необходимо, чтобы \( x + 2 \geq 0 \). Это означает, что \( x \geq -2 \).
Теперь разберем неравенство. Для удобства сначала возведем обе стороны в квадрат, но помним, что при этом, согласно правилам неравенств, мы должны быть уверены, что обе стороны не отрицательны. Поскольку мы уже установили, что \( x + 2 \geq 0 \) для \( x \geq -2 \), можем продолжать.
Возводим обе стороны в квадрат: \[ (\sqrt{x + 2})^2 > x^2 \] что приводит к: \[ x + 2 > x^2. \]
Теперь переработаем это неравенство: \[ 0 > x^2 - x - 2. \]
Это уравнение можно записать как: \[ x^2 - x - 2 < 0. \]
Решим квадратное уравнение \( x^2 - x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2, \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1. \]
Таким образом, у нас есть два корня: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \). Теперь можем определить промежутки, в которых неравенство выполняется. Для этого проверим знаки в интервалах:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
- В интервале \( (-\infty, -1) \) выбираем \( x = -2 \): \( (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0 \) (не выполняется).
- В интервале \( (-1, 2) \) выбираем \( x = 0 \): \( 0^2 - 0 - 2 = -2 < 0 \) (выполняется).
- В интервале \( (2, +\infty) \) выбираем \( x = 3 \): \( 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0 \) (не выполняется).
Итак, неравенство \( x^2 - x - 2 < 0 \) выполняется на интервале \( (-1, 2) \). Также помним, что мы начали с условия \( x \geq -2 \). Таким образом, окончательным ответом будет:
\[ x \in (-1, 2). \]
