Точка D не принадлежит плоскости треугольника ABC . M , N , P, Q середины отрезков AD, AB, BC, CD - соответственно. Доказать MN параллельна PQ
Для доказательства того, что отрезок \( MN \) параллелен отрезку \( PQ \), начнем с определения необходимых точек и использования свойств средних линий.
Обозначим точки:
- \( M \) — середина отрезка \( AD \),
- \( N \) — середина отрезка \( AB \),
- \( P \) — середина отрезка \( BC \),
- \( Q \) — середина отрезка \( CD \).
Построим векторы:
Вектор \( MN \) можно выразить как: \[ MN = N - M = \left(\frac{A + B}{2}\right) - \left(\frac{A + D}{2}\right) = \frac{B - D}{2} \]
Вектор \( PQ \) выражается через: \[ PQ = Q - P = \left(\frac{C + D}{2}\right) - \left(\frac{B + C}{2}\right) = \frac{D - B}{2} \]
Теперь рассмотрим векторы \( MN \) и \( PQ \): \[ MN = \frac{B - D}{2} \] \[ PQ = \frac{D - B}{2} = -\frac{B - D}{2} \]
Поскольку вектор \( PQ \) равен отрицательному вектору \( MN \), это означает, что векторы \( MN \) и \( PQ \) направлены в противоположные стороны и, следовательно, являются параллельными.
Таким образом, мы доказали, что отрезок \( MN \) параллелен отрезку \( PQ \).
