Чтобы решить эту задачу, нам нужно проанализировать корни предложенных слов и выяснить, какой из них отражает то же явление, что и сопоставление слова "чрез" с современным русским вариантом.
Княже – корень здесь "княж-". Это слово связано с титулом и социальным статусом, однако не имеет аналогии с "чрез".
Отче – корень "отч-". Это слово имеет отношение к родственным связям, но также не отражает явления, связанного с предлогом "чрез".
Врата – корень "рат-". Это слово указывает на вход в что-то, например, в город или дом, но не имеет отношения к анализируемому явлению.
Просити – корень "прос-". Это слово связано с просьбой или поиском, что может отображать ожидание или стремление к чему-то, что, в некотором смысле, также имеет отношение к промежуточному состоянию, но не совсем напрямую сопоставимо с "чрез".
Из всех предложенных вариантов, слово "просити" может быть наиболее сопоставимо с "чрез", если рассматривать значение на уровне передачи некого стремления или необходимости. Тем не менее, важно отметить, что явление использования корня "чрез" в современном русском языке связано с означением преодоления или действия, на которое также указывают остальные слова.
Таким образом, с точки зрения глубокого анализа, явление, отраженное в корне слова "просити", можно рассматривать как близкое к "чрез", так как оно также затрагивает аспекты взаимодействия между субъектом и объектом.