x(2x-1) (3x+8) ≥0
Чтобы решить неравенство \( x(2x-1)(3x+8) \geq 0 \), следуем следующему алгоритму:
- Найдем нули каждого множителя:
- \( x = 0 \)
- \( 2x - 1 = 0 \) → \( x = \frac{1}{2} \)
- \( 3x + 8 = 0 \) → \( x = -\frac{8}{3} \)
Итак, нули функции: \( x = -\frac{8}{3}, 0, \frac{1}{2} \).
Разделим числовую прямую на интервалы по найденным нулям:
- \( (-\infty, -\frac{8}{3}) \)
- \( (-\frac{8}{3}, 0) \)
- \( (0, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)
Определим знак выражения на каждом интервале. Для этого можно выбрать тестовые точки из каждого интервала:
В интервале \( (-\infty, -\frac{8}{3}) \), выберем \( x = -3 \): \[ f(-3) = -3(2(-3)-1)(3(-3)+8) = -3(-7)(-1) = -21 < 0 \]
В интервале \( (-\frac{8}{3}, 0) \), возьмем \( x = -1 \): \[ f(-1) = -1(2(-1)-1)(3(-1)+8) = -1(-3)(5) = 15 > 0 \]
В интервале \( (0, \frac{1}{2}) \), выберем \( x = \frac{1}{4} \): \[ f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}\left(2\left(\frac{1}{4}\right)-1\right)\left(3\left(\frac{1}{4}\right)+8\right) = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{4}+8\right) \] \[ = \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{35}{4}\right) < 0 \]
В интервале \( (\frac{1}{2}, +\infty) \), выберем \( x = 1 \): \[ f(1) = 1(2(1)-1)(3(1)+8) = 1(1)(11) > 0 \]
Резюме:
- На интервале \( (-\infty, -\frac{8}{3}) \) - знак отрицательный.
- На интервале \( (-\frac{8}{3}, 0) \) - знак положительный.
- На интервале \( (0, \frac{1}{2}) \) - знак отрицательный.
- На интервале \( (\frac{1}{2}, +\infty) \) - знак положительный.
- Неравенство: нам нужно найти, где \( f(x) \geq 0 \). Это возможно в интервалах:
- от \( -\frac{8}{3} \) (включительно) до 0 (не включая) и
- от \( \frac{1}{2} \) (включительно) до \( +\infty \).
Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in \left[-\frac{8}{3}, 0\right) \cup \left[\frac{1}{2}, +\infty\right) \]
