Найти все значения параметра a, при которых окружности x^2+y^2=1 и (x-a)^2+y^2=4 касаются.
Чтобы найти все значения параметра \( a \), при которых окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) и \( (x - a)^2 + y^2 = 4 \) касаются друг друга, начнем с определения параметров окружностей.
Первая окружность \( x^2 + y^2 = 1 \):
- Центр: \( C_1(0, 0) \)
- Радиус: \( r_1 = 1 \)
Вторая окружность \( (x - a)^2 + y^2 = 4 \):
- Центр: \( C_2(a, 0) \)
- Радиус: \( r_2 = 2 \)
Окружности касаются, если расстояние между их центрами равно сумме радиусов или разности радиусов. Расстояние между центрами \( C_1 \) и \( C_2 \) равно:
\[ d = |a - 0| = |a| \]
Теперь мы рассмотрим два случая.
Окружности касаются внешне: \[ |a| = r_1 + r_2 \implies |a| = 1 + 2 \implies |a| = 3 \] Это дает нам два значения: \[ a = 3 \quad \text{или} \quad a = -3 \]
Окружности касаются внутренне: \[ |a| = |r_1 - r_2| \implies |a| = |1 - 2| \implies |a| = 1 \] Это также дает два значения: \[ a = 1 \quad \text{или} \quad a = -1 \]
Теперь соберем все найденные значения: \[ a = 3, \quad a = -3, \quad a = 1, \quad a = -1 \]
Таким образом, все значения параметра \( a \), при которых окружности касаются, это: \[ \boxed{3, -3, 1, -1} \]
