71. Решите уравнения: 1) x⁴-5x²+4=0; 2) x4-34x²+225 = 0;

Чтобы решить предложенные уравнения, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

1. Уравнение: \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \).

Для решения этого уравнения удобно сделать замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение преобразуется в:

\[ y^2 - 5y + 4 = 0. \]

Теперь это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя дискриминант. Дискриминант \( D \) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9. \]

Теперь находим корни уравнения с использованием формулы корней:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}. \]

Таким образом, получаем:

1. \( y_1 = \frac{8}{2} = 4 \);
2. \( y_2 = \frac{2}{2} = 1 \).

Теперь возвращаемся к переменной \( x \). Поскольку \( y = x^2 \), имеем:

1. \( x^2 = 4 \) ⇒ \( x = \pm 2 \);
2. \( x^2 = 1 \) ⇒ \( x = \pm 1 \).

Таким образом, корни первого уравнения:

\( x = -2, -1, 1, 2 \).

2. Уравнение: \( x^4 - 34x^2 + 225 = 0 \).

Снова сделаем замену \( y = x^2 \). Уравнение становится:

\[ y^2 - 34y + 225 = 0. \]

Находим дискриминант:

\[ D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 1156 - 900 = 256. \]

Теперь находим корни:

\[ y_{1,2} = \frac{34 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{34 \pm 16}{2}. \]

Получаем:

1. \( y_1 = \frac{50}{2} = 25 \);
2. \( y_2 = \frac{18}{2} = 9 \).

Возвращаемся к \( x \):

1. \( x^2 = 25 \) ⇒ \( x = \pm 5 \);
2. \( x^2 = 9 \) ⇒ \( x = \pm 3 \).

Таким образом, корни второго уравнения:

\( x = -5, -3, 3, 5 \).

В итоге, мы получили все корни для обоих уравнений:

1. Для \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \): \( x = -2, -1, 1, 2 \).
2. Для \( x^4 - 34x^2 + 225 = 0 \): \( x = -5, -3, 3, 5 \).