Найди наименьшее значение функции y = 3 tg x − 4 x + 13 y=3tgx−4x+13 на отрезке [ − π 4 ; 0 ] [− 4 π ;0] .
Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = 3 \tan x - 4x + 13 \) на отрезке \( \left[-\frac{\pi}{4}; 0\right] \), необходимо выполнить следующие шаги:
Обозначим функцию:
\( f(x) = 3 \tan x - 4x + 13 \)Найдем производную:
Нужно взять производную \( f'(x) \) и найти точки, где производная равна нулю, а также точки разрыва функции. Производная будет следующей:
\( f'(x) = 3 \sec^2 x - 4 \)
Установим уравнение:
\( 3 \sec^2 x - 4 = 0 \)
Это приводит к:
\( \sec^2 x = \frac{4}{3} \)
Таким образом,
\( \cos^2 x = \frac{3}{4} \)
То есть,
\( \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \).
В рассматриваемом интервале \( x = -\frac{\pi}{6} \) соответствует положительному значению.Подставим найденные точки в функцию:
Нам необходимо оценить значение функции в точках:- На границе: \( x = -\frac{\pi}{4} \)
- На границе: \( x = 0 \)
- В критической точке: \( x = -\frac{\pi}{6} \)
Вычислим значения функции:
Для \( x = -\frac{\pi}{4} \):
\( f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 13 \)
\( = 3(-1) + \pi + 13 = -3 + \pi + 13 = \pi + 10 \).Для \( x = 0 \):
\( f(0) = 3 \tan(0) - 4 \cdot 0 + 13 = 0 + 0 + 13 = 13 \).Для \( x = -\frac{\pi}{6} \):
\( f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 4\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 13 \)
\( = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{2\pi}{3} + 13 = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} + 13 = -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \).
Сравните значения: Чтобы найти наименьшее значение, сравните \( \pi + 10 \), \( 13 \) и \( -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \).
При необходимости, подставьте приближенные значения \( \pi \approx 3.14 \) и \( \sqrt{3} \approx 1.73 \) для окончательных расчетов.
Таким образом, наименьшее значение функции будет в той точке по сравнению с расчетными значениями, которые вы получили.
