1. У Маши есть 7 книг, и она хочет взять с собой в отпуск 3 из них. Сколько существует способов сделать это? 2. Внутри круга радиуса 5 случайным образом выбирается точка. Найдите…

1. Чтобы узнать, сколько существует способов выбрать 3 книги из 7, мы можем использовать формулу сочетаний. Количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) задаётся формулой:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае \(n = 7\) и \(k = 3\):

\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

Таким образом, существует 35 способов выбрать 3 книги из 7.

2. Для определения вероятности, что точка внутри круга радиуса 2 также окажется внутри круга радиуса 5, нужно найти соотношение площадей этих кругов. Площадь круга рассчитывается по формуле \(S = \pi r^2\).

Площадь круга радиуса 5:

\[ S_5 = \pi \times 5^2 = 25\pi \]

Площадь круга радиуса 2:

\[ S_2 = \pi \times 2^2 = 4\pi \]

Вероятность того, что случайно выбранная точка из круга радиуса 5 окажется внутри круга радиуса 2, равна отношению площадей:

\[ P = \frac{S_2}{S_5} = \frac{4\pi}{25\pi} = \frac{4}{25} \]

3. Чтобы найти вероятность того, что только один студент сдаст экзамен успешно, воспользуемся биномиальным распределением. Вероятность успешной сдачи для одного студента \(p = 0.8\) и неуспешной \(q = 1 - p = 0.2\). Мы ищем вероятность того, что ровно 1 студент из 5 сдаст экзамен успешно:

\[ P(X = 1) = C(5, 1) p^1 q^{5-1} = 5 \times (0.8)^1 \times (0.2)^4 \]

Теперь подставим:

\[ P(X = 1) = 5 \times 0.8 \times (0.2)^4 = 5 \times 0.8 \times 0.0016 = 0.0064 \]

Таким образом, вероятность того, что только один студент сдаст экзамен успешно, составляет 0.0064.

4. В этой задаче мы имеем равновероятный случайный эксперимент: подбрасывание игральной кости до тех пор, пока не выпадет число 6. Для того чтобы первый успех (выпадение числа 6) произошёл на четвёртом броске, значит, нужно, чтобы на первых трёх бросках не выпадало 6, а на четвёртом — выпало. Вероятности таковы:

• Вероятность неудачи (не выпала 6 на каждом из первых трёх бросков): \((\frac{5}{6})^3\)
• Вероятность успеха на четвёртом броске: \(\frac{1}{6}\)

Итак, полная вероятность:

\[ P(X = 4) = \left( \frac{5}{6} \right)^3 \times \frac{1}{6} = \frac{125}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \]

5. В урне находятся 5 красных, 4 синих и 3 зелёных шара, всего \(5 + 4 + 3 = 12\) шаров. Рассмотрим случайную величину \(X\), равную числу синих шаров, которые могут быть извлечены. Возможные значения \(X\) - 0, 1, 2.

• Вероятность \(P(X = 0)\) (оба шара красные или зелёные):

Число способов выбрать 2 шара из 8 непригодных (красные и зелёные): \[ C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \] Общее количество способов выбрать 2 шара из 12: \[ C(12, 2) = \frac{12 \times 11}{2} = 66 \] \[ P(X = 0) = \frac{28}{66} = \frac{14}{33} \]

• Вероятность \(P(X = 1)\):

Выбираем 1 синий и 1 из оставшихся 8:

\[ C(4, 1) \times C(8, 1) = 4 \times 8 = 32 \] \[ P(X = 1) = \frac{32}{66} = \frac{16}{33} \]

• Вероятность \(P(X = 2)\) (оба шара синие):

\[ C(4, 2) = 6 \] \[ P(X = 2) = \frac{6}{66} = \frac{1}{11} \]

Подытожим распределение: \[ P(X = 0) = \frac{14}{33}, \quad P(X = 1) = \frac{16}{33}, \quad P(X = 2) = \frac{1}{11} \]

Теперь найдем математическое ожидание \(E(X)\):

\[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) = 0 \cdot \frac{14}{33} + 1 \cdot \frac{16}{33} + 2 \cdot \frac{1}{11} \] Переведем все вероятности к общему знаменателю:

\[ E(X) = \frac{16}{33} + \frac{6}{33} = \frac{22}{33} = \frac{2}{3} \]

6. Чтобы найти вероятность того, что Стас получит выученный билет, нужно узнать общее количество выученных билетов и общее количество билетов. У него 180 билетов, из которых не выучено 24. Следовательно, выученных:

\[ 180 - 24 = 156 \]

Вероятность того, что ему попадётся выученный билет:

\[ P = \frac{156}{180} = \frac{13}{15} \]

Таким образом, вероятность того, что Стас получит выученный билет, составляет \(\frac{13}{15}\).