Входная контрольная работа. Вариант 4. 1. Наташе необходимо из 9 фотографий выбрать 3 для того, чтобы прикрепить их к резюме. Сколько существует способов выбрать эти фотографии?2.…

Конечно! Давайте разберем каждый вопрос по порядку.

1. Выбор фотографий

Наташе необходимо выбрать 3 фотографии из 9. Это задача на комбинации, где порядок не имеет значения. Формула для подсчета количества способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае \( n = 9 \) и \( k = 3 \):

\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 \]

Таким образом, существует 84 способа выбрать 3 фотографии из 9.

2. Вероятность попасть в меньший треугольник

Рассмотрим треугольник RNY с основанием 15. Площадь равностороннего треугольника рассчитывается по формуле:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Где \( a \) — сторона треугольника. Подставляем значение стороны 15:

\[ S_{RNY} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 15^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 225 = \frac{225\sqrt{3}}{4} \]

Теперь найдем площадь меньшего треугольника, который образуют середины сторон RNY. Площадь этого треугольника будет равна одной четвертой площади большого треугольника:

\[ S_{меньший} = \frac{1}{4} S_{RNY} = \frac{1}{4} \cdot \frac{225\sqrt{3}}{4} = \frac{225\sqrt{3}}{16} \]

Вероятность того, что случайно выбранная точка находится внутри меньшего треугольника:

\[ P = \frac{S_{меньший}}{S_{RNY}} = \frac{\frac{225\sqrt{3}}{16}}{\frac{225\sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, вероятность того, что точка окажется в пределах меньшего треугольника, равна \( \frac{1}{4} \).

3. Вероятность двух дефектных изделий

Вероятность дефекта изделия равна \( p = 0.5 \) (если не указано иное). Надо найти вероятность того, что среди 4 изделий ровно 2 окажутся дефектными. Используем формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \]

Где \( n = 4 \), \( k = 2 \):

\[ P(X = 2) = C(4, 2) (0.5)^2 (0.5)^{4-2} = C(4, 2) (0.5)^4 \] \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \] \[ P(X = 2) = 6 \cdot (0.5)^4 = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]

Вероятность того, что ровно 2 изделия окажутся дефектными, равна \( \frac{3}{8} \).

4. Распределение числа зелёных деталей

В наборе конструктора 10 красных, 5 синих и 3 зеленые детали, всего 18 деталей. Рассмотрим случайные выборы:

1. 0 зелёных деталей: Можно выбрать 2 из 15 (красные и синие). \[ P(0) = \frac{C(15, 2)}{C(18, 2)} = \frac{\frac{15!}{2! \cdot 13!}}{\frac{18!}{2! \cdot 16!}} = \frac{15 \cdot 14}{18 \cdot 17} = \frac{210}{306} = \frac{35}{51} \]

2. 1 зелёная деталь: 1 зелёная и 1 не зелёная. \[ P(1) = \frac{C(3, 1) \cdot C(15, 1)}{C(18, 2)} = \frac{3 \cdot 15}{306} = \frac{45}{306} = \frac{15}{102} \]

3. 2 зелёные детали: \[ P(2) = \frac{C(3, 2)}{C(18, 2)} = \frac{3}{306} = \frac{1}{102} \]

Закон распределения:

• \( P(X=0) = \frac{35}{51} \)
• \( P(X=1) = \frac{15}{102} \)
• \( P(X=2) = \frac{1}{102} \)

Теперь найдем математическое ожидание \( E(X) \): \[ E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 0 + \frac{15}{102} + \frac{2}{102} = \frac{17}{102} \approx 0.166 \]

5. Вероятность хорошей ручки

Вероятность дефекта ручки равна \( P(дефект) = 0.25 \). Вероятность того, что ручка пишет хорошо:

\[ P(хорошая) = 1 - P(дефект) = 1 - 0.25 = 0.75 \]

Таким образом, вероятность того, что новая шариковая ручка пишет хорошо, равна 0.75.

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!