1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+.....+1/(2017×2020)

Чтобы решить этот ряд, давайте сначала проанализируем общий член последовательности. Каждый член можно представить в следующем виде:

\[ \frac{1}{n(n+3)} \]

где \( n \) принимает значения 1, 4, 7 и так далее, с разницей 3. Мы можем заметить, что это последовательность, начинающаяся с 1 и увеличивающаяся на 3, т.е. \( n = 1 + 3k \), где \( k = 0, 1, 2, \ldots \).

Чтобы упростить дробь \( \frac{1}{n(n+3)} \), воспользуемся методом разложения на простые дроби:

\[ \frac{1}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3} \]

Умножив обе стороны на \( n(n+3) \), получим:

\[ 1 = A(n+3) + Bn \]

Подставляя различные значения для \( n \), мы можем найти \( A \) и \( B \). Подставим \( n = 0 \):

\[ 1 = A(0+3) \implies A = \frac{1}{3} \]

Теперь подставим \( n = -3 \):

\[ 1 = B(-3) \implies B = -\frac{1}{3} \]

Таким образом, мы можем записать:

\[ \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3n} - \frac{1}{3(n+3)} \]

Тогда наш ряд становится:

\[ \sum \left( \frac{1}{3n} - \frac{1}{3(n+3)} \right) \]

Теперь подставим значения \( n = 1, 4, 7, \ldots, 2017 \). Первый член - это \( n=1 \), и последний член - это \( n=2017 \).

Эта последовательность \( n = 1 + 3k \) заканчивается, когда \( n = 2017 \):

\[ 2017 = 1 + 3k \implies 3k = 2016 \implies k = 672 \]

Итак, мы имеем 673 членов (от k=0 до k=672). Теперь подставим значения:

Это позволяет нам выразить сумму:

\[ S = \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{672} \left( \frac{1}{1 + 3k} - \frac{1}{4 + 3k} \right) \]

Теперь заметим, что ряд является телескопическим. Каждый член \( \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4+3 \cdot 672} \right) \).

Последний член будет:

\[ 4 + 3 \times 672 = 2018 \]

Итак, сумма:

\[ S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{2018} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{2018 - 1}{2018} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2017}{2018} = \frac{2017}{6054} \]

Таким образом, конечный ответ нашего ряда будет:

\[ \frac{2017}{6054} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!