1!×1 2!×2 3!×3 ..... 100!×100

Чтобы решить выражение \( 1! \times 1 + 2! \times 2 + 3! \times 3 + \ldots + 100! \times 100 \), нужно обратить внимание на его структуру.

Во-первых, вспомним, что факториал \( n! \) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \). То есть:

• \( 1! = 1 \)
• \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• и так далее.

Теперь, если мы умножим \( n! \) на \( n \), то получится:

\[ n! \times n = n \times (n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1) = (n+1)! \]

Таким образом, мы можем переписать выражение:

\[ 1! \times 1 + 2! \times 2 + 3! \times 3 + \ldots + 100! \times 100 = 2! + 3! + 4! + \ldots + 101! \]

Теперь вместо того, чтобы складывать каждое из этих значений, можно воспользоваться формулой для суммы факториалов.

Однако, если требуется конкретное числовое значение, подсчитать эту сумму вручную было бы весьма накладно из-за больших чисел, но концепция заключается в следующем:

Сумму \( 2! + 3! + 4! + \ldots + 101! \) можно вычислить, используя программу или калькулятор с поддержкой больших чисел, чтобы избежать ошибок.

Такая сумма на практике может быть очень большой, так что это выражение в основном используется для иллюстрации работы с факториалами и их свойствами.