1!×1+2!×2+3!×3+.....+100!×100

Чтобы решить выражение \( 1! \times 1 + 2! \times 2 + 3! \times 3 + \ldots + 100! \times 100 \), обратим внимание на структуру суммы и использование факториалов.

Каждый элемент суммы имеет форму \( n! \times n \). Мы можем выразить это как:

\[ n! \times n = n \times n! = (n + 1)! - n! \]

Используя это преобразование, мы можем переписать всю сумму:

\[ 1! \times 1 + 2! \times 2 + 3! \times 3 + \ldots + 100! \times 100 = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \ldots + (101! - 100!) \]

Теперь заметим, что в данной последовательности все элементы кроме первого и последнего сокращаются:

\[ = 101! - 1! \]

Так как \( 1! = 1 \), выражение упрощается до:

\[ = 101! - 1 \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ 101! - 1 \]