Реши неравенство 14-5x-x²<0

Чтобы решить неравенство \( 14 - 5x - x^2 < 0 \), начнём с реорганизации его в стандартный вид.

1. Перепишем неравенство: \[ -x^2 - 5x + 14 < 0 \] Умножим всё неравенство на -1, изменив знак: \[ x^2 + 5x - 14 > 0 \]

2. Теперь нужно найти корни квадратного уравнения \( x^2 + 5x - 14 = 0 \) с помощью формулы для корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -14 \).

   Сначала найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]

   Теперь можем найти корни: \[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

3. Теперь у нас есть корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -7 \). Чтобы решить неравенство \( x^2 + 5x - 14 > 0 \), определим знаки на промежутках, образованных этими корнями: \( (-\infty, -7) \), \( (-7, 2) \), \( (2, +\infty) \).

4. Проверим знаки на каждом из промежутков:

   • Для \( x < -7 \) (например, \( x = -8 \)): \[ (-8)^2 + 5(-8) - 14 = 64 - 40 - 14 = 10 > 0 \]

   • Для \( -7 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 + 5(0) - 14 = -14 < 0 \]

   • Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ 3^2 + 5(3) - 14 = 9 + 15 - 14 = 10 > 0 \]

5. Таким образом, неравенство \( x^2 + 5x - 14 > 0 \) выполняется на промежутках \( (-\infty, -7) \) и \( (2, +\infty) \).

Записываем окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -7) \cup (2, +\infty) \]

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!