Найти наибольшее и наиментшее значение функции y=x^3-3x
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^3 - 3x \), нам необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции и её анализ.
Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3 \]
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \]
Таким образом, критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Определим значения функции в критических точках: \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2 \] \[ y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2 \]
Теперь оценим границы поведения функции. Чтобы выяснить, на каких интервалах функция растет или убывает, можем выбрать тестовые точки:
- Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \]
- Для \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \quad (\text{функция убывает}) \]
- Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \]
Соберем все найденные значения:
- В точке \( x = 1 \) функция достигает значения \( y = -2 \) (локальный минимум).
- В точке \( x = -1 \) функция достигает значения \( y = 2 \) (локальный максимум).
Выводы:
- Наименьшее значение функции \( y \) равно \( -2 \) при \( x = 1 \).
- Наибольшее значение функции \( y \) равно \( 2 \) при \( x = -1 \).
Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^3 - 3x \) составляют 2 и -2 соответственно.
