Найдите все пары натуральных чисел (х, у), удовлетворяющие уравнению xy-x+4y=15

Чтобы найти все пары натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющие уравнению \(xy - x + 4y = 15\), начнем с упрощения этого уравнения.

Перепишем его в более удобной форме:

\[ xy + 4y - x = 15. \]

Теперь выделим \(x\):

\[ x(y - 1) = 15 - 4y. \]

Теперь выразим \(x\):

\[ x = \frac{15 - 4y}{y - 1}. \]

Чтобы \(x\) было натуральным числом, числитель \(15 - 4y\) должен делиться на \(y - 1\) нацело, а также \(15 - 4y\) должен быть положительным, иначе \(x\) не будет натуральным числом.

Теперь определим значения для \(y\):

1. \(15 - 4y > 0\) => \(15 > 4y\) => \(y < \frac{15}{4} = 3.75\). Таким образом, возможные значения \(y\) могут быть 1, 2 или 3.

Теперь подставим каждое значение \(y\) и найдем соответствующие \(x\):

• Для \(y = 1\): \[ x = \frac{15 - 4 \cdot 1}{1 - 1} \, (неопределено). \]

• Для \(y = 2\): \[ x = \frac{15 - 4 \cdot 2}{2 - 1} = \frac{15 - 8}{1} = \frac{7}{1} = 7. \] Пара \((7, 2)\) является решением.

• Для \(y = 3\): \[ x = \frac{15 - 4 \cdot 3}{3 - 1} = \frac{15 - 12}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \, (не является натуральным числом). \]

Таким образом, единственной парой натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющей уравнению \(xy - x + 4y = 15\), является:

\((7, 2)\).