Решить треугольник АВС, угол В =60 градусов, угол С= 45 градусов, АВ = 10 см. Найти: АС.
Для решения треугольника ABC с заданными углами и длиной стороны, воспользуемся теорией треугольников и формулами, связанными с синусами.
Дано:
- Угол B = 60 градусов
- Угол C = 45 градусов
- Сторона AB = 10 см
Сначала найдем угол A. Сумма всех углов треугольника равна 180 градусам:
\[ A + B + C = 180^\circ \]
Подставим известные значения:
\[ A + 60^\circ + 45^\circ = 180^\circ \]
Отсюда:
\[ A = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \]
Теперь у нас есть все углы треугольника:
- Угол A = 75 градусов
- Угол B = 60 градусов
- Угол C = 45 градусов
Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны AC:
\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{AC}{\sin(60^\circ)} = \frac{10}{\sin(45^\circ)} \]
Значения синусов:
- \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Теперь подставим эти значения в уравнение:
\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Упрощаем правую часть:
\[ \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \]
Теперь подставим в уравнение:
\[ AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2} \]
Перепишем это уравнение и найдем AC:
\[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Упрощаем:
\[ AC = 5\sqrt{6} \]
Таким образом, длина стороны AC равна \(5\sqrt{6}\) см.
