В предложении "Он заслужил известность своими жестокими методами обращения к своим подданным" ошибка касается выбора слова. Правильный вариант: "Он заслужил известность своими жестокими методами обращения с подданными".
Изменение предлога "к" на "с" делает предложение более корректным, так как предлог "с" лучше отражает отношение между субъектом и подданными в данном контексте.